Размерность Вапника — Червоненкиса

(перенаправлено с «Теория Вапника — Червоненкиса»)

Размерность Вапника — Червоненкиса или VC-размерность — это характеристика семейства алгоритмов для решения задачи классификации с двумя классами, характеризующая сложность или ёмкость этого семейства. Это одно из ключевых понятий в теории Вапника-Червоненкиса о статистическом машинном обучении, названное в честь Владимира Вапника и Алексея Червоненкиса.

Сами Вапник и Червоненкис предпочитают называть эту величину комбинаторной размерностью, так как выяснилось, она была известна алгебраистам еще до открытия их теории машинного обучения.

Содержание

Определение

Пусть задано множество   и некоторое семейство индикаторных функций (алгоритмов классификации, решающих правил)  , где   — аргумент функций,   — вектор параметров, задающий функцию. Каждая такая функция   сопоставляет каждому элементу множества   один из двух заданных классов. VC-размерностью семейства   называется наибольшее число  , такое, что существует подмножество из   элементов множества  , которые функции из   могут разбить на два класса всеми возможными способами. Если же такие подмножества существуют для сколь угодно большого  , то VC-размерность полагается равной бесконечности.

VC-размерность можно обобщить и на случай семейства функций  , принимающих действительные значения. Его VC-размерность определяется как VC-размерность семейства индикаторных функций  , где   пробегает область значений функций  .[1]

Примеры

Как пример, рассмотрим задачу о разбиении точек на плоскости на два класса прямой линией — это так называемый линейный классификатор. Множество из любых трёх точек, не лежащих на одной прямой, может быть разделено прямой линией на два класса всеми возможными способами (  способами, на рисунке ниже показаны три из них), но множества из четырёх и более точек — уже нет. Поэтому VC-размерность линейного классификатора на плоскости равна трём.

       
Примеры разделения трёх
точек на два класса
Разделение невозможно
для этих четырёх точек

В общем случае, VC-размерность линейных классификаторов в  -мерном пространстве равна  .

См. также

Ссылки

Примечания

  1. Hastie, T., Tibshirani R., Friedman J. Chapter 7.9. Vapnik–Chervonenkis Dimension // The Elements of Statistical Learning: Data Mining, Inference, and Prediction. — 2nd ed. — Springer-Verlag, 2009. — 746 p. — ISBN 978-0-387-84857-0..