Мультиполь

Мультипо́ли (от лат. multum — много и греч. πόλος — полюс) — определённые конфигурации точечных источников (зарядов). Простейшими примерами мультиполя служат точечный заряд — мультиполь нулевого порядка; два противоположных по знаку заряда, равных по абсолютной величине — диполь, или мультиполь 1-го порядка; 4 одинаковых по абсолютной величине заряда, размещённых в вершинах параллелограмма, так что каждая его сторона соединяет заряды противоположного знака (или два одинаковых, но противоположно направленных диполя) — квадруполь, или мультиполь 2-го порядка. Название мультиполь включает обозначение числа зарядов (на латинском языке), образующих мультиполь, например, октуполь (окту — 8) означает, что в состав мультиполя входит 8 зарядов.

Выделение таких конфигураций связано с разложением поля[1] от сложных, ограниченных в пространстве систем источников поля (включая и случай непрерывного распределения источников) по мультиполям - с так называемым 'мультипольным разложением'.

Под полем может иметься в виду электростатическое или магнитостатическое поле, а также аналогичные им поля (например, ньютоновское гравитационное поле)[2].

Такое разложение часто может применяться для приближенного описания поля от сложной системы источников на большом (много большем, чем размер самой этой системы) расстоянии от неё; в этом случае важно то, что поле мультиполя каждого следующего порядка убывает с расстоянием гораздо быстрее предыдущих, поэтому часто можно ограничиться несколькими (в зависимости от расстояния и требуемой точности) членами (низших порядков) мультипольного разложения. В другом случае по разным причинами мультипольное разложение оказывается удобным даже при суммировании всех порядков (тогда оно представляет собой бесконечный ряд); в этом случае оно дает точное выражение поля не только на больших, но в принципе на любых расстояниях от системы источников (за исключением внутренних её областей).

Кроме статических (или приближенно статических) полей часто в связи с мультипольными моментами говорят о мультипольном излучении - излучении, рассматриваемом как обусловленное изменением во времени мультипольных моментов системы-излучателя. Этот случай отличается тем, что в нем поля разных порядков убывают с расстоянием одинаково быстро, различаясь зависимостью от угла.

Содержание

Мультипольное разложение скалярного поля

Система точечных покоящихся зарядов

Электростатический потенциал системы зарядов в точке  

 

где   — заряды,   — их координаты. Раскладывая этот потенциал в ряд Тейлора, получим

 

называемое мультипольным разложением, где введено обозначение

 

 -польные потенциалы,   называют порядком члена мультипольного разложения. Член 0-го порядка имеет вид

 

что совпадает с потенциалом точечного заряда   (потенциалом монополя). Член 1-го порядка равен

 

где   — единичный вектор, направленный вдоль  . Если ввести дипольный момент системы зарядов как  , то система   совпадёт с потенциалом точечного диполя. Таким образом, потенциал в 1-м порядке разложения по мультиполям имеет вид

 

Если  , то дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Если  , то можно выбрать систему координат с центром в точке  , тогда дипольный момент станет равным нулю. Такая система называется системой центра заряда. Следующий член разложения имеет вид

 

где  квадрупольный момент системы зарядов. Введём матрицу   квадрупольного момента. Тогда потенциал в 2-м порядке разложения по мультиполям примет вид

 

Матрица   является бесследовой, то есть  . Кроме того, она является симметричной, то есть  . Поэтому она может быть приведена к диагональному виду с помощью поворота осей декартовых координат.

В общем случае вклад  -го порядка в потенциал может быть представлен в виде:

 

где   -польный момент системы зарядов, представляющий собой неприводимый тензор  -го порядка. Этот тензор симметричен по любой паре индексов и обращается в нуль при сворачивании по любой паре индексов.

Система распределённых зарядов

Если заряд распределён с некоторой плотностью  , то переходя к непрерывному пределу (или непосредственно выводя из исходных формул) в формулах для дискретного распределения можно получить мультипольное разложение и в этом случае:

 

где   — объём, в котором находится распределённый заряд. Тогда мультипольные моменты имеют вид:

 
 
 

Формулы для потенциалов мультиполей остаются неизменными. Случай дискретной системы зарядов может быть получен подставкой их плотности распределения, которая может быть выражена через δ-функции:

 

При вычислении потенциала полезна формула  , где  полиномы Лежандра,  .[3]

Мультипольное разложение напряжённости электростатического поля

Напряжённость электростатического поля системы зарядов равна градиенту электростатического потенциала, взятому с обратным знаком

 

Подставив в эту формулу напряжённость мультипольное разложение потенциала, получим мультипольное разложение напряжённости электростатического поля

 

где

 

— электрическое поле  -поля.

В частности поле точечного заряда (монополя) имеет вид:

 

что соответствует закону Кулона.

Поле точечного диполя:

 

Поле точечного квадруполя:

 

Таким образом, электрическое поле системы покоящихся зарядов во 2-м порядке мультипольного разложения имеет вид:

 

Из данной формулы просто получить нормальную (радиальную) компоненту электрического поля

 

Тангенциальная компонента может быть найдена вычитанием нормальной

 

Если нормальная (радиальная) компонента отражает сферически симметричное распределение зарядов, то тангенциальая — несферический вклад в электростатическое поле. Таким образом, квадрупольный момент является интересным для исследования не только, когда суммарный заряд и дипольный момент системы равны нулю, но и в том случае, когда кулоновский вклад ненулевой. Тогда, в соответствии с формулой для тангенциальной компоненты, квадрупольный момент характеризует степень несферичности электрического поля в системе центра заряда. Именно так были измерены электрические квадрупольные моменты у атомных ядер и был сделан вывод об отсутствии у них сферической симметрии.

Мультипольное разложение статического магнитного поля

Векторный потенциал зарядов, движущихся с постоянной скоростью имеет вид:

 

Он аналогичным образом раскладывается в мультипольное разложение:

 

Ряд начинается с  , так как магнитных зарядов не существует (магнитные заряды в физике фундаментальных взаимодействий не обнаружены, хотя они и могут быть использованы, как модель для описания явлений в физике твёрдого тела). Этот член соответствует магнитному диполю (точечному круговому контуру с током):

 

где  магнитный момент системы токов (движущихся зарядов):

 

Литература

Примечания

  1. Конечно же, представлено поле может быть как потенциалом, так и напряженностью.
  2. Для полей, как гравитационное, не имеющих отрицательных зарядов, мультипольное разложение содержит только четные порядки. При этом отрицательные заряды в мультиполях четных порядков (например, в квадруполе) рассматриваются в этом случае чисто формально.
  3. Ли Цзун-дао Математические методы в физике. — М.: Мир, 1965. — стр.146

См. также